Kwadraat afsplitsen
Formule parabool anders opschrijven: Methode 2 - kwadraat afsplitsen
Deze methode leidt - in tegenstelling tot Methode 1 - altijd tot een oplossing, maar soms is dat wel wat lastig. Bovendien werkt deze methode alleen als er niets voor de x2 staat (we gaan dus eigenlijk uit van 1.x2).
[ N.B. Krijg je een opgave met zoiets als f(x) = -3x2 -9x + 21, dan moet je dus eerst alles delen door -3 en dus ook de f(3). Schrijf dan eerst op:
uit f(x) = -3x2 -9x +21 volgt: -1/3.f(x) = x2 +3x - 7. ]
Voor de volgende stappen kijk je nu alleen naar alles wat rechts van het = teken staat.
Stap 1. Kijk alleen naar het getal uit de formule dat voor de x staat en daar hoort ook de plus of de min bij. In het voorbeeld met formule f(x) = x2 -2x -3 is dat -2. Neem daar de helft van en vul dat in op de puntjes achter de x in de hulp-formule: (x .....)2
De hulp-formule moet je daarna uitrekenen. In het voorbeeld is de hulp-formule (x - 1)2
Uitrekenen levert op: (x - 1)2 = x2 - 2x + 1
Stap 2. Kijk opnieuw naar de oorspronkelijke formule maar dan alleen naar de onderdelen waar een x in voorkomt. Dat stuk van de formule moet je vervangen door iets anders. Het stuk in het voorbeeld, waar het om gaat is: x2 -2x Je kijkt nu naar de uitkomsten uit stap 1. Daar vond je een vergelijking door de hulp-formule uit te rekenen. Haal daar het stuk uit, dat je nodig hebt. Dat doe je met de volgende bewerking: (x - 1)2 = x2 - 2x + 1 en dat verander je in: (x - 1)2 - 1 = x2 - 2x. Zowel links als rechts van het = teken haal je er dus gewoon 1 vanaf.
Stap 3. Schrijf nu de oorspronkelijke formule anders op door gebruik te maken van wat je vond in stap 2. Het komt erop neer dat je x2 - 2x vervangt door (x - 1)2 - 1
Dus het gaat zo: f(x) = x2 -2x -3 = (x - 1)2 - 1 - 3 en dus: f(x) = (x - 1)2 - 4
[ Was je begonnen met alles te delen dan moet je dat nu weer opgedaan maken. In de voorbeeld opgave met: f(x) = -3x2 -9x +21 omzetten in -1/3.f(x) = x2 +3x - 7 werd dat bereikt door alles te delen door -3. Als je klaar bent met stap 3, dan moet je alles weer vermenigvuldigen met -3; tenminste in de voorbeeld opgave ]
Methode 2 maakt het mogelijk om formules anders op te schrijven namelijk als "Deel 1" plus "Deel 2". Dat is handig als je zoekt naar extreme waarden. (zie verder onder
Extreme waarden).
In ons voorbeeld is Deel 1 het kwadraat (x - 1)2 en in Deel 2 staat alleen -4. Wiskundigen schrijven nu direct op: y oftewel f(x) ≥ -4; dat betekent dat de y's groter of gelijk zijn aan -4.
Je kunt met andere woorden alles invullen voor de x maar de uitkomst (de y dus) ligt nooit onder de -4 oftewel: de laagste y die je kunt vinden is gelijk aan -4 !
Oefeningen
Pas methode 2 toe op onderstaande formules (kwadraat afsplitsen). Schrijf dus alle formules op
als: "Deel 1" (kwadraat) plus "Deel 2" (de rest = een getal). Als je daarmee klaar bent, geef
dan aan hoe groot de "extreme waarde" is (deel 2) en voor welke waarde van x, die wordt bereikt.
- f(x) = 4x -3 -x2
- f(x) = 2x +x2 +2
- f(x) = 1 +x2 -2x
- f(x) = x2 +4x +2
- f(x) = 1 -x2 -2x
- f(x) = x2 -6x +11
- f(x) = x2 -4x +1
Bij welke opgave ontbreekt "Deel 2" ? Hoeveel nulpunten heeft de bijbehorende parabool dan? Geef ook voor de andere opgaven het aantal nulpunten weer. Geef per geval aan waardoor dat wordt veroorzaakt.